Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumk=1^infty(-1)^n x^n4^n ln n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^nx^n4^nln n. O conteúdo é séries de potências e vamos precisar usar o teste da raiz para o raio e, depois, testar os extremos para ver convergência condicional ou absoluta.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz. Definindo an = (-1)^n4^nln n, temos
limsupntoinftyraiz[n]|an|=limntoinfty14(ln n)^-1/n=14
Logo, o raio de convergência é R=4.

Passo 3

Agora vamos analisar os extremos. Para x=4 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n4^n4^nln n=sumn=1^infty(-1)^nln n
Os termos bn=1/ln n são positivos, decrescentes (para n>=3) e tendem a zero, então a série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz. Como sum1/ln n diverge, não há convergência absoluta.

Passo 4

Para x=-4 temos
sumn=1^infty(-1)^n(-4)^n4^nln n=sumn=1^infty1ln n,
que diverge. Portanto não há convergência em x=-4.

Passo 5

Concluímos que a série converge para |x|<4, converge condicionalmente em x=4 e diverge em x=-4, de modo que o intervalo de convergência é (-4,4].

Resposta

O raio de convergência é R=4 e o intervalo de convergência é (-4,4].

Exercícios relacionados