Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty n x^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a série de potências
sumn=1^infty n,x^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)
O que se pede é o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão, que é o caminho mais direto para séries de potências.

Passo 2

No teste da razão, definimos o coeficiente geral
an = n1cdot3cdot5cdots(2n-1)
e verificamos
L = limntoinfty |an+1an|
Se L for finito, a série converge para |x|<1/L e diverge para |x|>1/L, dando raio R=1/L.

Passo 3

Cálculo de an+1/an:
a_{n+1} tem denominador
1cdot3cdots(2n-1)cdot(2n+1) = (2n+1)!! = (2n+1)(2n-1)!!
Logo,
an+1an = n+1ncdot(2n-1)!!(2n+1)!! = n+1ncdot12n+1 = n+1n(2n+1)
Multiplicando por |x|, temos
|an+1an| = |x|n+1n(2n+1)

Passo 4

Agora calculamos o limite:
limntoinfty |x|n+1n(2n+1) = |x|limntoinfty n+12n^2+n = 0
Como L=0<1 para qualquer x, o teste da razão diz que a série converge para todos os |x|. Portanto o raio de convergência é R=infty.

Passo 5

Com R=infty, o intervalo de convergência é todo o eixo real, ou seja
(-infty,infty)

Resposta

O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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