Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=0^+infty(-1)^n x^nn!

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^nn!
O conteúdo é séries de potências e usaremos o teste da razão para determinar o raio de convergência e, a partir dele, o intervalo de convergência.

Passo 2

Definimos an = (-1)^nx^nn! e aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|(-1)^n+1x^n+1(n+1)!(-1)^nx^nn!| = limntoinfty|x|n+1

Passo 3

Como
limntoinfty|x|n+1 = 0 < 1
para todo xinR, o teste da razão indica convergência em qualquer x. Portanto, o raio de convergência é R = infty.

Passo 4

Com R = infty, a série converge para todos os valores reais de x. Logo, o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

R=infty, intervalo de convergência (-infty,infty).

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