Verifique se existem os limites abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) x e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe e, em caso positivo, calcular o limite
lim(x,y)(0,0) x,e^-1/(x^2+y^2)
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Vamos usar coordenadas polares e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Em coordenadas polares, escrevemos
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0
Logo a função fica
x,e^-1/(x^2+y^2) = rcostheta,e^-1/r^2

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, analisamos o valor absoluto:
l|rcostheta,e^-1/r^2r| <= r,e^-1/r^2,
pois |costheta|<=1.

Passo 4

Defina
g(r) = r,e^-1/r^2, r>0
Para calcular limrto0^+g(r), use a troca de variável t = 1/r. Então
g(r) = 1t,e^-t^2
Quando rto0^+, temos tto+infty e
1t,e^-t^2;longrightarrow;0,
já que a exponencial decai muito mais rápido que 1/t.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-,g(r);<=;rcostheta,e^-1/r^2;<=;g(r)
e limrto0^+g(r)=0, concluímos
lim(x,y)to(0,0)x,e^-1/(x^2+y^2)=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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