Verifique se existem os limites abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite em duas variáveis
O conteúdo aqui é cálculo de limite em
, e vamos usar coordenadas polares para mostrar que o resultado independe da direção de chegada em
.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
de modo que
Substituindo na função, obtemos
que não depende de
, mostrando que todas as “direções” dão a mesma expressão.
Passo 3
Restou avaliar o limite unidimensional
Para isso, usamos o fato clássico de análise:
Basta tomar
, que também tende a
quando
.
Passo 4
Pondo
na fórmula anterior, concluímos
Como a expressão em coordenadas polares não depende de
, esse é o limite em todas as direções, e logo em
.
Resposta
O limite existe e vale
.