Verifique se existem os limites abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) e^x^2+y^2-1x^2+y^2-

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0)e^x^2+y^2-1x^2+y^2
O conteúdo aqui é cálculo de limite em R^2, e vamos usar coordenadas polares para mostrar que o resultado independe da direção de chegada em (0,0).

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que
x^2+y^2 = r^2
Substituindo na função, obtemos
e^x^2+y^2-1x^2+y^2 =e^r^2-1r^2,
que não depende de theta, mostrando que todas as “direções” dão a mesma expressão.

Passo 3

Restou avaliar o limite unidimensional
limrto 0^+e^r^2-1r^2
Para isso, usamos o fato clássico de análise:
limtto 0e^t-1t=1
Basta tomar t=r^2, que também tende a 0 quando rto0.

Passo 4

Pondo t=r^2 na fórmula anterior, concluímos
limrto0^+e^r^2-1r^2 =limtto0e^t-1t =1
Como a expressão em coordenadas polares não depende de theta, esse é o limite em todas as direções, e logo em R^2.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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