Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty x^n2^n raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série matemática:
sumn=1^+infty x^n2^n raizn
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em termos de valores de x , a série converge. Para encontrá-lo, vamos aplicar o teste da razão, que envolve calcular o limite da razão entre o termo geral subsequente e o termo atual da série.

Passo 3

Vamos definir o termo geral da nossa série como:
an = x^n2^n raizn
Agora, aplicamos o teste da razão:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo an+1 e an :
L = limn to infty | x^n+12^n+1 raizn+1x^n2^n raizn | = limn to infty | x2 cdot raiznraizn+1 |

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
L = | x2 | cdot limn to infty raiznraizn+1 = | x2 | cdot limn to infty raiznn+1
Sabemos que:
limn to infty raiznn+1 = raiz1 = 1
Então, o limite L fica:
L = | x2 |

Passo 5

Para a série convergir pelo teste da razão, precisamos que L < 1 :
| x2 | < 1
Resolvendo essa desigualdade:
|x| < 2
Isso significa que o raio de convergência R é 2.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge quando |x| < 2 , ou seja, para x no intervalo:
-2 < x < 2
Precisamos verificar os extremos x = -2 e x = 2 para ver se a série também converge nesses pontos.

Passo 7

Vamos testar x = 2 :
sumn=1^+infty 2^n2^n raizn = sumn=1^+infty 1raizn
Essa é a série p com p = 12 , que diverge porque p <= 1 .
Agora, testamos x = -2 :
sumn=1^+infty (-2)^n2^n raizn = sumn=1^+infty (-1)^nraizn
Essa é a série alternada com termos decrescentes que tendem a zero, então ela converge condicionalmente.

Resposta

O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é -2 <= x < 2 .

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