Sabe-se que \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 4^{n} é uma série convergente. Quais séries abaixo podemos garantir que são convergentes?
(c) \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado diz que a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 4^{n} é convergente. A pergunta (parte (c)) pede para decidir se podemos garantir que a série
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
é convergente. Informação relevante dada:
  • Sabemos que a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 4^{n} converge (não foi afirmada convergência absoluta, apenas convergência).
  • Não nos são dadas outras hipóteses sobre (a_{n}) além do fato acima.
    A partir disso precisamos deduzir, com segurança, se a série pedido converge.

Passo 2

Uma observação útil é reescrever os termos da série que queremos estudar em função dos termos da série dada. Defina
b_{n}:=a_{n}4^{n}.
Como a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}4^{n} converge, ela é exatamente \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}. Com essa definição, escrevemos o termo geral da série que queremos como
a_{n}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}=b_{n}\cdot\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}}{4^{n}}.
Calculemos a fração:
\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}}{4^{n}}=\left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\right)^{n}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}.
Portanto a série pedida é
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}.

Passo 3

Vamos usar uma propriedade básica de séries convergentes: se \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} converge, então as somas parciais
B_{N}:=\sum_{n=0}^{N} b_{n}
convergem para algum limite finito quando N\to\infty. Em particular, a sequência (B_{N}) é limitada: existe M>0 tal que |B_{N}|\le M para todo N. Essa limitação das somas parciais será essencial.

Passo 4

Apresento agora um instrumento padrão (somação por partes, também chamada de fórmula de Abel) que serve para transformar séries do tipo \sum b_{n}x_{n} em uma forma que usa as somas parciais B_{n}. A fórmula é:
\sum_{n=0}^{N} b_{n}x_{n}=B_{N}x_{N}+\sum_{k=0}^{N-1} B_{k}\left(x_{k}-x_{k+1}\right),
onde B_{k}=\sum_{n=0}^{k} b_{n}. Essa fórmula se obtém apenas reagrupando termos e aplicando somas parciais (é a análoga discreta da integração por partes). Vou usá-la com x_{n}=r^{n} para um certo r.

Passo 5

Escolha r=-\frac{1}{6}. Então x_{n}=r^{n}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}. Aplicando a fórmula de Abel com esses x_{n} obtemos, para todo N,
\sum_{n=0}^{N} b_{n}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}=B_{N}\left(-\frac{1}{6}\right)^{N}+\sum_{k=0}^{N-1} B_{k}\left(\left(-\frac{1}{6}\right)^{k}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{k+1}\right).
Fatorando a diferença no somatório:
\left(-\frac{1}{6}\right)^{k}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{k+1}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{k}\left(1-(-\tfrac{1}{6})\right)=\left(-\frac{1}{6}\right)^{k}\cdot\frac{7}{6}.
Logo
\sum_{n=0}^{N} b_{n}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}=B_{N}\left(-\frac{1}{6}\right)^{N}+\frac{7}{6}\sum_{k=0}^{N-1} B_{k}\left(-\frac{1}{6}\right)^{k}.

Passo 6

Agora passamos ao limite N\to\infty. Usamos duas coisas:
  1. Como (B_{N}) é limitada por M e \left(-\tfrac{1}{6}\right)^{N}\to 0, o termo B_{N}\left(-\tfrac{1}{6}\right)^{N} tende a 0.
  2. Para o somatório \sum_{k=0}^{\infty} B_{k}\left(-\tfrac{1}{6}\right)^{k} temos uma convergência absoluta por comparação geométrica, porque |B_{k}|\le M e
\sum_{k=0}^{\infty}\left|B_{k}\left(-\frac{1}{6}\right)^{k}\right|\le M\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{k}=M\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{6}}=M\cdot\frac{6}{5}<\infty.
Portanto a soma \sum_{k=0}^{\infty} B_{k}\left(-\tfrac{1}{6}\right)^{k} converge, e então pelo resultado do Passo 5 a soma parcial \sum_{n=0}^{N} b_{n}\left(-\tfrac{1}{6}\right)^{n} tem limite finito quando N\to\infty. Logo a série
\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}
converge.

Passo 7

Lembrete prático e interpretação: escrevemos a série que queríamos em função dos termos b_{n}=a_{n}4^{n} da série dada e mostramos que a convergência da série original implica que as somas parciais B_{n} são limitadas; esse fato, combinado com o decaimento geométrico de \left(-\tfrac{1}{6}\right)^{n} (pois \left|\!-\tfrac{1}{6}\right|<1), garante a convergência da nova série por somação por partes (Abel). Em linguagem de testes de convergência, é a aplicação do teste de Dirichlet / Abel para séries.

Resposta

A série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} é convergente.

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