Sabe-se que \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 4^{n} é uma série convergente. Quais séries abaixo podemos garantir que são convergentes?
(a) \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n}

Passo 1

O enunciado diz que a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 4^{n} é convergente. A pergunta (a) é: podemos garantir que a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n} também é convergente?
Informações relevantes dadas:
  • Sabemos que \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 4^{n} converge (isso implica que suas somas parciais são limitadas).
  • Queremos analisar a convergência de \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n}.

Passo 2

Vamos fazer uma reescrita simples para ficar claro o que temos. Defina a sequência
b_n := a_n 4^{n}.
Então a hipótese diz que a série
\sum_{n=0}^{\infty} b_n
converge. Denotemos as somas parciais por
B_N := \sum_{n=0}^{N} b_n.
Como a série \sum b_n converge, a sequência (B_N)_{N} tem limite finito; em particular existe uma constante M>0 tal que
|B_N| \le M \quad\text{para todo }N.
Isso é importantíssimo: somas parciais limitadas = hipótese chave para um teste de convergência.

Passo 3

Escrevamos a série que queremos estudar em função de b_n. Observe que
a_n 2^{n} = a_n 4^{n}\cdot \frac{1}{2^{n}} = b_n \cdot c_n,
onde definimos
c_n := \frac{1}{2^{n}}.
Note as propriedades de c_n:
  • c_n>0 para todo n.
  • c_{n+1} = \frac{1}{2} c_n < c_n, portanto (c_n) é monotona decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} c_n = 0.

Passo 4

Vamos usar um resultado clássico (teste de Dirichlet / soma por partes, explicado de forma elementar): se (B_N) são as somas parciais de b_n e são limitadas, e se (c_n) é monotona decrescente com c_n\to 0, então a série \sum b_n c_n converge. Vou demonstrar esse fato de maneira direta usando a soma por partes (fórmula de Abel).
A fórmula de soma por partes (Abel) diz que, para N\ge1,
\sum_{n=0}^{N} b_n c_n = B_N c_N + \sum_{k=0}^{N-1} B_k (c_k - c_{k+1}).
Essa identidade é obtida reescrevendo cada termo b_n c_n como (B_n-B_{n-1})c_n e reorganizando (pode verificar escrevendo os primeiros termos e vendo as cancelamentos).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula e usamos os fatos que conhecemos. Pelo passo 2 existe M com |B_k|\le M para todo k. Pelo passo 3 temos c_k-c_{k+1}\ge0. Portanto, para qualquer N,
\left|\sum_{n=0}^{N} b_n c_n\right| \le |B_N|\,c_N + \sum_{k=0}^{N-1} |B_k| (c_k - c_{k+1}) \le M c_N + M\sum_{k=0}^{N-1} (c_k - c_{k+1}).
A soma telescopante dá
\sum_{k=0}^{N-1} (c_k - c_{k+1}) = c_0 - c_N.
Então
\left|\sum_{n=0}^{N} b_n c_n\right| \le M c_N + M(c_0 - c_N) = M c_0.
Isso mostra que as somas parciais da série \sum b_n c_n são uniformemente limitadas por M c_0. Para concluir convergência, note ainda que o termo B_N c_N tende a 0 quando N\to\infty (pois B_N é limitado e c_N\to0), e a soma \sum_{k=0}^{\infty} B_k (c_k - c_{k+1}) converge por comparação com a sequência limitada B_k e com a soma telescopante que é finita. Assim a expressão do passo 4 tem limite finito quando N\to\infty. Portanto a série \sum b_n c_n converge.

Passo 6

Voltando às notações originais, concluímos que a série
\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} b_n c_n
converge. É importante notar que não precisamos de convergência absoluta de \sum a_n 4^n; apenas da convergência (que garante somas parciais limitadas) e do fato de que 1/2^n é decrescente para zero.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n} é convergente.

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