Lembre das funções trigonométricas inversas
,
e
e seus respectivos domínios. Calcule suas derivadas e suas integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede para lembrarmos das funções inversas trigonométricas
,
e
, indicar seus domínios e calcular (a) a derivada de cada uma e (b) suas integrais indefinidas. Para isso vamos usar regras de derivação de funções inversas e, nas integrais, integração por partes.
Passo 2
Função
.
Domínio: .
Para derivar, seja , então
e
Domínio:
Para derivar, seja
Passo 3
Integral indefinida de
.
Usamos partes com ,
, de onde
e
. Então
Usamos partes com
Na integral restante, faça
,
, obtendo
. Logo
Passo 4
Função
.
Domínio: .
Para derivar, seja , então
e
Domínio:
Para derivar, seja
Passo 5
Integral indefinida de
.
Usamos partes com ,
, de onde
e
. Então
Usamos partes com
Como antes
, resulta
Passo 6
Função
.
Domínio: .
Para derivar, seja , então
e
Domínio:
Para derivar, seja
Passo 7
Integral indefinida de
.
Usamos partes com ,
, de onde
e
. Então
Usamos partes com
Para a integral restante basta notar
. Logo
Resposta
Derivadas:
Integrais indefinidas: