Lembre das funções trigonométricas inversas arcsen(x), arccos (x) e arctan (x) e seus respectivos domínios. Calcule suas derivadas e suas integrais indefinidas.

Passo 1

O enunciado pede para lembrarmos das funções inversas trigonométricas arcsen(x), arccos(x) e arctan(x), indicar seus domínios e calcular (a) a derivada de cada uma e (b) suas integrais indefinidas. Para isso vamos usar regras de derivação de funções inversas e, nas integrais, integração por partes.

Passo 2

Função arcsen(x).
Domínio: -1 <= x <= 1.
Para derivar, seja y=arcsen(x), então x=sen(y) e
dydx=1cos(y)=1raiz1-sen^2(y)=1raiz1-x^2, -1<x<1

Passo 3

Integral indefinida de arcsen(x).
Usamos partes com u=arcsen(x), dv=dx, de onde du=dxraiz1-x^2 e v=x. Então
integral arcsen(x),dx = x,arcsen(x) -integral xraiz1-x^2,dx
Na integral restante, faça t=1-x^2, dt=-2x,dx, obtendo integral x/raiz1-x^2,dx=-raiz1-x^2. Logo
integral arcsen(x),dx = x,arcsen(x)+raiz1-x^2+C

Passo 4

Função arccos(x).
Domínio: -1 <= x <= 1.
Para derivar, seja y=arccos(x), então x=cos(y) e
dydx=-1sen(y)=-1raiz1-cos^2(y)=-1raiz1-x^2, -1<x<1

Passo 5

Integral indefinida de arccos(x).
Usamos partes com u=arccos(x), dv=dx, de onde du=-dxraiz1-x^2 e v=x. Então
integral arccos(x),dx = x,arccos(x) -integral xl(-1raiz1-x^2r),dx = x,arccos(x)+integral xraiz1-x^2,dx
Como antes integral x/raiz1-x^2,dx=-raiz1-x^2, resulta
integral arccos(x),dx = x,arccos(x)-raiz1-x^2+C

Passo 6

Função arctan(x)$.
Domínio: -infty<x<infty.
Para derivar, seja y=arctan(x), então x=tan(y) e
dydx=1sec^2(y)=11+tan^2(y)=11+x^2, xinR

Passo 7

Integral indefinida de arctan(x).
Usamos partes com u=arctan(x), dv=dx, de onde du=dx1+x^2 e v=x. Então
integral arctan(x),dx = x,arctan(x) -integral x1+x^2,dx
Para a integral restante basta notar integral x/(1+x^2),dx=tfrac12ln(1+x^2). Logo
integral arctan(x),dx = x,arctan(x)-tfrac12lnl(1+x^2r)+C

Resposta

Derivadas:
ddxarcsen(x)=1raiz1-x^2, ddxarccos(x)=-1raiz1-x^2, ddxarctan(x)=11+x^2
Integrais indefinidas:
integral arcsen(x),dx = x,arcsen(x)+raiz1-x^2+C,
integral arccos(x),dx = x,arccos(x)-raiz1-x^2+C,
integral arctan(x),dx = x,arctan(x)-tfrac12lnl(1+x^2r)+C

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