Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
1)
0,333 3 ldots

Passo 1

O enunciado pede para converter a dízima periódica 0,3 em
(a) uma série infinita e
(b) um quociente de dois inteiros.
O conteúdo necessário é representar decimais periódicos como séries geométricas e usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Em 0,3 cada dígito 3 na posição decimal n contribui com 3cdot10^-n. Logo,
0,3 = sumn=1^infty 3cdot10^-n

Passo 3

Reindexando com k=n-1 temos
sumn=1^infty 3cdot10^-n = sumk=0^infty 3cdot10^-(k+1) = sumk=0^infty l(tfrac310r)l(tfrac110r)^k
Essa é uma série geométrica com primeiro termo a=tfrac310 e razão r=tfrac110. A soma de uma série geométrica infinita com lvert rrvert<1 é
sumk=0^infty ar^k = a1-r

Passo 4

Substituindo a e r na fórmula,
sumk=0^infty ar^k = tfrac3101 - tfrac110 = tfrac310tfrac910 = 39 = 13
Portanto, 0,3 = 13.

Resposta

(a) sumn=1^infty 3cdot10^-n
(b) 13

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