1. sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
sumk=2^infty 2^k+1 + 2cdot7^k9^k
O conteúdo é soma de séries geométricas. Vamos separar em duas séries mais simples e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita, que é
sumk=N^infty ar^k = a,r^N1-r,para |r|<1

Passo 2

Separemos
sumk=2^infty 2^k+19^k e sumk=2^infty 2cdot7^k9^k

Passo 3

Na primeira série temos
2^k+19^k = 2;2^k9^k = 2l(29r)^k
Aplicando a fórmula com a=2, r=tfrac29 e N=2,
sumk=2^infty2l(29r)^k =2;l(tfrac29r)^21-tfrac29 =2;tfrac481tfrac79 =2;481cdot97 =863

Passo 4

Na segunda série temos
2cdot7^k9^k = 2l(79r)^k
Aqui a=2, r=tfrac79 e N=2, então
sumk=2^infty2l(79r)^k =2;l(tfrac79r)^21-tfrac79 =2;tfrac4981tfrac29 =2;4981cdot92 =499

Passo 5

Somando as duas partes,
sumk=2^infty2^k+1+2cdot7^k9^k =863+499 =863+34363 =35163 =397

Resposta

397

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