Verifique que (1, 1, 2) é o ponto do elipsoide 2 x^2 + 2 y^2 + z^2 = 8 cuja soma das coordenadas tem o maior valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que o ponto (1, 1, 2) está no elipsoide definido pela equação e que, nesse ponto, a soma das coordenadas é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto (1, 1, 2) está mesmo no elipsoide. Substituindo os valores de x, y e z na equação do elipsoide:
Viu? A igualdade bate, então (1, 1, 2) está no elipsoide.

Passo 3

Agora, queremos encontrar qual ponto no elipsoide faz a soma ser a maior possível. Para isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição.
A função que queremos maximizar é:
E a restrição é a equação do elipsoide:

Passo 4

Segundo o método de Lagrange, criamos uma nova função chamada função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição, usando um multiplicador que chamaremos de lambda:

Passo 5

Para encontrar os pontos de máximo, derivamos a Lagrangiana em relação a cada variável e igualamos a zero:
  1. Derivada em relação a x:
  1. Derivada em relação a y:
  1. Derivada em relação a z:
  1. Derivada em relação a lambda (a própria restrição):

Passo 6

Vamos resolver as equações (1), (2) e (3) para encontrar relações entre x, y e z:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Observamos que . Agora, substituímos esses resultados na equação de restrição (4):
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos , substituímos de volta para encontrar x, y e z:

Resposta

O ponto (1, 1, 2) é o ponto no elipsoide onde a soma das coordenadas atinge o maior valor.

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