Verifique que
é o ponto do elipsoide
cuja soma das coordenadas tem o maior valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que o ponto
está no elipsoide definido pela equação
e que, nesse ponto, a soma das coordenadas
é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está mesmo no elipsoide. Substituindo os valores de
,
e
na equação do elipsoide:
Viu? A igualdade bate, então
está no elipsoide.
Passo 3
Agora, queremos encontrar qual ponto no elipsoide faz a soma
ser a maior possível. Para isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição.
A função que queremos maximizar é:
E a restrição é a equação do elipsoide:
Passo 4
Segundo o método de Lagrange, criamos uma nova função chamada função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição, usando um multiplicador que chamaremos de
:
Passo 5
Para encontrar os pontos de máximo, derivamos a Lagrangiana em relação a cada variável e igualamos a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a própria restrição):
Passo 6
Vamos resolver as equações (1), (2) e (3) para encontrar relações entre
,
e
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Observamos que
. Agora, substituímos esses resultados na equação de restrição (4):
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos de volta para encontrar
,
e
:
Resposta
O ponto
é o ponto no elipsoide
onde a soma das coordenadas
atinge o maior valor.