Encontre o raio de convergência da série de potências.
sumn=0^infty (n+3)!n!(n+5)! x^n

Passo 1

O enunciado fornece a série de potências
sumn=0^infty (n+3)!n!,(n+5)!,x^n
e pede o raio de convergência. Vamos usar o teste da razão, que exige manipular o termo geral
an=(n+3)!n!,(n+5)!.

Passo 2

Simplificamos an escrevendo os fatoriais:
(n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)!e (n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1),n!
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an =(n+3)!n!,(n+5)! =(n+3)(n+2)(n+1),n!n!,(n+5)(n+4)(n+3)! =1(n+5)(n+4),n!

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, avaliando
limntoinftyl|an+1anr|;|x| =limntoinftytfrac1(n+6)(n+5),(n+1)!tfrac1(n+5)(n+4),n!;|x|
Simplificando fatoriais e fatores, obtemos
an+1an =(n+5)(n+4),n!(n+6)(n+5),(n+1)! =n+4(n+6)(n+1),
então
limntoinftyl|an+1anr|;|x| =limntoinftyn+4(n+6)(n+1),|x| =0cdot|x| =0

Passo 4

Como o limite do teste da razão é 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em todo o eixo real.

Resposta

O raio de convergência é R=infty.

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