Exercício 57 - (UFSC, 2016) Em relação às proposições abaixo, é CORRETO afirmar que:
  1. Se sen(x2)=13, então o valor de (sen(x)+cos (x)), com x no primeiro quadrante, é 7+4 raiz29.
  2. A função f(x)=cos (x+pi2) é uma função par e tem período 4 pi.
  3. 0 menor valor assumido pela função g(x)=2+sen(3 x) é -1 .
  4. 0 valor de sec (-13 pi3) é 12.
  5. 0 domínio da função h(x)=tg(2 x+pi3) é o conjunto
    D=x in R lvert, x neq pi6+k pi2, k in Z.
    SOMA: .

Passo 1

O exercício pede para verificar a veracidade de cinco afirmações envolvendo funções trigonométricas e somar os códigos (01, 02, 04, 08, 16) correspondentes às que forem verdadeiras. Vamos usar identidades de ângulos duplos, propriedades de paridade e período, e análise de domínio de função tangente.

Passo 2

Para a afirmação 01: “Se senl(tfracx2r)=tfrac13 com x no primeiro quadrante, então sen(x)+cos(x)=tfrac7+4raiz29.”
Como sentheta=tfrac13 e theta=tfracx2 está no 1.º quadrante, temos
costheta = raiz1 - sen^2theta = raiz1 - tfrac19 = tfrac2raiz23
Então
sen x = sen(2theta) = 2senthetacostheta = 2cdottfrac13cdottfrac2raiz23 = tfrac4raiz29,
cos x = cos(2theta) = cos^2theta - sen^2theta = tfrac89 - tfrac19 = tfrac79,
logo
sen x + cos x = tfrac4raiz29 + tfrac79 = tfrac7 + 4raiz29
Portanto, a afirmação 01 é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação 02: “ f(x)=cosl(tfracx+pi2r) é função par e tem período 4pi.”
Observando
f(x) = cosl(tfracx+pi2r) = -senl(tfracx2r),
então
f(-x) = -senl(-tfracx2r) = senl(tfracx2r) = -l(-senl(tfracx2r)r) = -f(x),
ou seja, f é ímpar, não par. Quanto ao período, de fato
f(x+T)=f(x) implies cos!l(tfracx+T+pi2r)=cos!l(tfracx+pi2r) implies T=4pi,
mas a paridade está errada, logo a afirmação 02 é falsa.

Passo 4

Para a afirmação 04: “O menor valor de g(x)=2+sen(3x) é -1.”
Sabendo que sen(3x)in[-1,1], temos
g(x)in[,2-1,;2+1,]=[1,3],
então o mínimo é 1, não -1. A afirmação 04 é falsa.

Passo 5

Para a afirmação 08: “O valor de secl(-tfrac13pi3r) é tfrac12.”
Reduzimos o ângulo:
-tfrac13pi3 + 4pi = -tfrac13pi3 + tfrac12pi3 = -tfracpi3,
logo
secl(-tfrac13pi3r) = secl(-tfracpi3r) = 1cos(-tfracpi3) = 1tfrac12 = 2,
não tfrac12. A afirmação 08 é falsa.

Passo 6

Para a afirmação 16: “O domínio de h(x)=tgl(2x+tfracpi3r) é xinBbb Rmid xneq tfracpi6+tfrackpi2,kinBbb Z.”
A tangente é indefinida quando
2x + tfracpi3 = tfracpi2 + kpi implies 2x = tfracpi2 - tfracpi3 + kpi = tfracpi6 + kpi implies x = tfracpi12 + tfrackpi2
Portanto o domínio correto é xinBbb Rmid xneq tfracpi12+tfrackpi2,kinBbb Z, e não o dado. A afirmação 16 é falsa.

Resposta

1

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