Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é análise de séries de potências, usando o teste da raiz (ou da razão) para achar o raio e, em seguida, testar os pontos
.
Passo 2
Para encontrar o raio de convergência
aplicamos o teste da raiz de Cauchy ao termo geral
Calculamos
pois
n^-1/nto1 .
Passo 3
O teste da raiz diz que a série converge se
L<1 , ou seja
Logo o raio de convergência é
Passo 4
Agora testamos os extremos:
- Para
, o termo geral ficax=5
e a série é
que converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.
- Para
, substituindo obtemosx=-5
pois
(-1)^n-1(-1)^n=(-1)^-1=-1 . Assim a série é
que diverge como a série harmônica.
Resposta
O raio de convergência é
R=5 e o intervalo de convergência é