Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn 5^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,5^n
O conteúdo aqui é análise de séries de potências, usando o teste da raiz (ou da razão) para achar o raio e, em seguida, testar os pontos x=pm5.

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência R aplicamos o teste da raiz de Cauchy ao termo geral
an=(-1)^n-1n,5^n,x^n
Calculamos
L=limntoinftyraiz[n]l|anr| =limntoinftyraiz[n]|x|^nn,5^n =|x|5,limntoinftyn^-1/n =|x|5,
pois n^-1/nto1.

Passo 3

O teste da raiz diz que a série converge se L<1, ou seja
|x|5<1Longrightarrow|x|<5
Logo o raio de convergência é
R=5

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Para x=5, o termo geral fica
(-1)^n-15^nn,5^n =(-1)^n-1n,
e a série é
sumn=1^infty(-1)^n-1n,
que converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.
  1. Para x=-5, substituindo obtemos
(-1)^n-1(-5)^nn,5^n =-1n,
pois (-1)^n-1(-1)^n=(-1)^-1=-1. Assim a série é
-sumn=1^infty1n,
que diverge como a série harmônica.

Resposta

O raio de convergência é R=5 e o intervalo de convergência é
(-5,,5]

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