Exemplo
Encontrar a solução do PVI:
l y^(4)-y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial a seguir e encontrar a função y(x):

Passo 2

y^(4)-y=0, y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0
Esse é um caso de EDO linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica.

Passo 3

Considerando o palpite y=e^rx no ODE, substituímos e obtemos a equação característica:

Passo 4

r^4-1=0
As raízes dessa equação são r=1,-1,i,-i.

Passo 5

Com as raízes, a solução geral da EDO é dada por

Passo 6

y(x)=C1e^x+C2e^-x+C3cos x+C4sin x

Passo 7

Derivando até a terceira ordem e aplicando as condições iniciais, obtemos:

Passo 8

y'(x)&=C1e^x-C2e^-x-C3sin x+C4cos x, y''(x)&=C1e^x+C2e^-x-C3cos x-C4sin x, y'''(x)&=C1e^x-C2e^-x+C3sin x-C4cos x

Passo 9

Em x=0 e usando y(0)=0, y’(0)=1, y’’(0)=0, y’’’(0)=0, montamos o sistema:

Passo 10

C1+C2+C3=0, C1-C2+C4=1, C1+C2-C3=0, C1-C2-C4=0

Passo 11

Somando a 1ª e a 3ª equações dá 2(C1+C2)=0 C1+C2=0. Somando a 2ª e a 4ª dá 2(C1-C2)=1 C1-C2=tfrac12. Logo C1=tfrac14, C2=-tfrac14. Da 1ª equação vem C3=0 e de C1-C2+C4=1 obtemos C4=tfrac12.

Resposta

y(x)=tfrac12sinh x+tfrac12sin x

Exercícios relacionados