Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=2^infty (x+2)^n2^n ln (n)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=2^infty(x+2)^n2^nln(n)
O conteúdo usado será o teste da razão para achar o raio e, depois, a análise nos casos extremos x=-4 e x=0.

Passo 2

Defina
an=12^nln(n),
então o termo geral é an,(x+2)^n. Pelo teste da razão, considere
L = limntoinfty|an+1(x+2)^n+1an,(x+2)^n| = limntoinfty |x+2|2,ln(n)ln(n+1) = |x+2|2
A série converge se L<1, ou seja
|x+2|2<1 Longrightarrow |x+2|<2
Logo o raio de convergência é
R=2,
e a região interna é -4<x<0.

Passo 3

Em x=0 a série vira
sumn=2^infty1ln(n)
Como ln(n) cresce muito devagar, essa série diverge (por exemplo, pelo teste da condensação de Cauchy ou comparando com integral2^inftydxln(x)).

Passo 4

Em x=-4 a série fica
sumn=2^infty(-2)^n2^nln(n) =sumn=2^infty(-1)^nln(n)
É uma série alternada cujos termos em módulo 1/ln(n) decrescem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge, mas não é absolutamente convergente (pois sum1/ln(n) diverge). Logo é convergência condicional.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: [-4,0), com convergência condicional em x=-4 e divergência em x=0.

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