Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty (3 x-2)^2 k+1k!

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
sumk=1^infty(3x-2)^2k+1k!
O conteúdo principal aqui é o estudo de convergência de séries de potências usando o Teste da Razão.

Passo 2

Denote o termo geral por
ak = (3x-2)^2k+1k!
Aplicamos o Teste da Razão: calculamos
L ;=;limktoinfty|ak+1ak|

Passo 3

Computando a razão,
ak+1ak =(3x-2)^2(k+1)+1/(k+1)!(3x-2)^2k+1/k! =(3x-2)^2k+3(3x-2)^2k+1;k!(k+1)! =(3x-2)^2k+1
Tomando o limite,
L=limktoinfty|3x-2|^2k+1=0

Passo 4

Como L=0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em todo real. Logo o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo R.

Resposta

Raio de convergência R = infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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