Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty k!(x-4)^k(-2)^k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série
sumk=1^infty k!(x-4)^k(-2)^k
Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências e à determinação de quando elas convergem. Para resolver, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e, posteriormente, o intervalo onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum ak, calculamos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificamos ak na nossa série:
ak = k!(x-4)^k(-2)^k
Agora, vamos encontrar ak+1:
ak+1 = (k+1)!(x-4)^k+1(-2)^k+1

Passo 4

Calculamos a razão ak+1ak:
ak+1ak = (k+1)!(x-4)^k+1(-2)^k+1 times (-2)^kk!(x-4)^k = (k+1) times (x-4)(-2)
Simplificando:
| ak+1ak | = (k+1) times | x-4-2 | = (k+1) times | x-42 |

Passo 5

Aplicamos o limite conforme o Teste da Razão:
L = limk to infty (k+1) times | x-42 |
Observamos que, à medida que k to infty, L tende a infinito, a menos que | x-42 | = 0. Isso significa que a série só converge quando x-42 = 0, ou seja, x = 4.

Passo 6

Portanto, o raio de convergência R é 0, já que a série só converge em um único ponto. O intervalo de convergência é simplesmente o ponto x = 4.

Resposta

O raio de convergência é R = 0 e o intervalo de convergência é x = 4.

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