Use séries de Maclaurin para resolver a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando séries de Maclaurin! O exercício pede para calcularmos a integral de
de 0 a
. Para isso, vamos precisar da série de Maclaurin da função seno e aplicar isso na nossa integral.
Passo 2
Primeiro, lembra da série de Maclaurin para
. É uma expansão em potências de
que representa a função seno. A série fica assim:
Passo 3
Agora, a gente quer a série para
. Para isso, substituímos
por
na série que temos:
Passo 4
Com essa série, podemos integrar termo a termo entre 0 e
. A regra aqui é que, se a série converge, a integral também pode ser feita termo a termo.
Passo 5
Vamos integrar cada termo da série de
:
Integrando cada termo:
Passo 6
Agora, substituímos
e
em cada termo:
Calculando os primeiros termos para uma boa aproximação:
Resposta
A integral
aproximadamente vale 0,040934.