Use séries de Maclaurin para resolver a integral integral0^1 / 2 sen x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando séries de Maclaurin! O exercício pede para calcularmos a integral de sin(x^2) de 0 a 12 . Para isso, vamos precisar da série de Maclaurin da função seno e aplicar isso na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, lembra da série de Maclaurin para sin(x). É uma expansão em potências de x que representa a função seno. A série fica assim:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots

Passo 3

Agora, a gente quer a série para sin(x^2). Para isso, substituímos x por x^2 na série que temos:
sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+1(2n+1)! = x^2 - x^63! + x^105! - x^147! + cdots

Passo 4

Com essa série, podemos integrar termo a termo entre 0 e 12. A regra aqui é que, se a série converge, a integral também pode ser feita termo a termo.

Passo 5

Vamos integrar cada termo da série de sin(x^2):
integral0^1/2 sin(x^2) dx = integral0^1/2 ( x^2 - x^63! + x^105! - x^147! + cdots ) dx
Integrando cada termo:
= [ x^33 - x^77 cdot 3! + x^1111 cdot 5! - x^1515 cdot 7! + cdots ]0^1/2

Passo 6

Agora, substituímos x = 12 e x = 0 em cada termo:
= (1/2)^33 - (1/2)^77 cdot 6 + (1/2)^1111 cdot 120 - (1/2)^1515 cdot 5040 + cdots
Calculando os primeiros termos para uma boa aproximação:
= 124 - 11344 + 184480 - 14838400 + cdots approx 0,0416667 - 0,0007440 + 0,0000118 - 0,0000002 approx 0,040934

Resposta

A integral integral0^1/2 sin(x^2) dx aproximadamente vale 0,040934.

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