Sabendo que ln (1+x1-x)=2(x+x^33+x^55+x^77+cdots) (-1<x<1) e que y=1+x1-x, encontre a série que aproxima o valor de ln 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada a séries de potências e funções logarítmicas. A gente precisa usar a série que representa o logaritmo natural para aproximar o valor de ln 4. Para isso, vamos utilizar a expressão dada e fazer algumas substituições e simplificações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação dada:
ln (1+x1-x) = 2(x + x^33 + x^55 + x^77 + cdots)
Essa é uma expansão em série de potências para o logaritmo natural. A série converge quando -1 < x < 1. Nosso objetivo é encontrar uma série que aproxime ln 4.

Passo 3

Sabemos que y = 1+x1-x. Queremos encontrar x tal que ln y = ln 4. Portanto:
ln y = ln 4 Rightarrow y = 4
Então, temos:
4 = 1+x1-x

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x:
4 = 1+x1-x
Multiplicando ambos os lados por 1 - x:
4(1 - x) = 1 + x
Distribuindo o 4:
4 - 4x = 1 + x
Agora, vamos isolar x:
4 - 1 = 4x + x Rightarrow 3 = 5x Rightarrow x = 35

Passo 5

Agora que encontramos x = 35, vamos substituir esse valor na série original para aproximar ln 4:
ln (1+351-35) = 2(35 + (35)^33 + (35)^55 + (35)^77 + cdots)
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
1+351-35 = 8525 = 4
Portanto:
ln 4 = 2(35 + (35)^33 + (35)^55 + (35)^77 + cdots)

Passo 6

Portanto, a série que aproxima o valor de ln 4 é:
ln 4 = 2(35 + (35)^33 + (35)^55 + (35)^77 + cdots)

Resposta

A série que aproxima ln 4 é:
ln 4 = 2(35 + (35)^33 + (35)^55 + (35)^77 + cdots)

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