Sabendo que
e que
, encontre a série que aproxima o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada a séries de potências e funções logarítmicas. A gente precisa usar a série que representa o logaritmo natural para aproximar o valor de
. Para isso, vamos utilizar a expressão dada e fazer algumas substituições e simplificações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação dada:
Essa é uma expansão em série de potências para o logaritmo natural. A série converge quando
. Nosso objetivo é encontrar uma série que aproxime
.
Passo 3
Sabemos que
. Queremos encontrar
tal que
. Portanto:
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o 4:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na série original para aproximar
:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Portanto:
Passo 6
Portanto, a série que aproxima o valor de
é:
Resposta
A série que aproxima
é: