Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
Passo 1
A série dada é . O conteúdo é série de potências centrada em zero. Para resolver, vamos precisar saber o teste da razão (para achar o raio de convergência) e depois testar os pontos extremos .
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Definindo , calculamos
Passo 3
Para convergência pelo teste da razão, precisamos de |x|3<1, ou seja |x|<3. Assim o raio de convergência é R=3 e a série converge em |x|<3.
Passo 4
Faltam os extremos: para x=3 a série vira sum(n+2), que diverge. Para x=-3 fica sum(n+2)(-1)^n, cujos termos não tendem a zero, logo também diverge. Portanto os pontos x=pm3 não entram.
Resposta
O raio de convergência é R = 3 e o intervalo de convergência é (-3,3).