Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
sumn=0^+infty n+23^n x^n

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty n+23^nx^n. O conteúdo é série de potências centrada em zero. Para resolver, vamos precisar saber o teste da razão (para achar o raio de convergência) e depois testar os pontos extremos x=pm3.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo an = n+23^nx^n, calculamos
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty (n+3)/3^n+1,|x|^n+1(n+2)/3^n,|x|^n = limntoinfty n+3n+2cdot|x|3 = |x|3

Passo 3

Para convergência pelo teste da razão, precisamos de |x|3<1, ou seja |x|<3. Assim o raio de convergência é R=3 e a série converge em |x|<3.

Passo 4

Faltam os extremos: para x=3 a série vira sum(n+2), que diverge. Para x=-3 fica sum(n+2)(-1)^n, cujos termos não tendem a zero, logo também diverge. Portanto os pontos x=pm3 não entram.

Resposta

O raio de convergência é R = 3 e o intervalo de convergência é (-3,3).

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