Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla:
. O que precisamos fazer é desenhar a região onde vamos integrar e então mudar a ordem de integração. Isso envolve trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como as variáveis
e
se relacionam dentro dos limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olha só:
varia de 0 até 2, e para cada
,
varia de 0 até
. Se a gente desenhar isso no plano cartesiano,
é uma parábola que abre para baixo, com vértice em
. Mas como
vai até 2, a região vai de
até
e
vai de 0 até
. Então, a área de integração é a parte da parábola entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos mudar a ordem da integração. Queremos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar novos limites para
e
.
-
varia de 0 até 4, porque quando , pode ir até 4. - Para um valor fixo de
, varia de 0 até , já que implica .
Então, os novos limites são:
-
de 0 a 4 -
de 0 a
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada fica: