Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
integral0^2 integral0^4-y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla: integral0^2 integral0^4-y^2 dx , dy. O que precisamos fazer é desenhar a região onde vamos integrar e então mudar a ordem de integração. Isso envolve trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como as variáveis x e y se relacionam dentro dos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olha só: y varia de 0 até 2, e para cada y, x varia de 0 até 4 - y^2. Se a gente desenhar isso no plano cartesiano, 4 - y^2 é uma parábola que abre para baixo, com vértice em (0, 4). Mas como y vai até 2, a região vai de y = 0 até y = 2 e x vai de 0 até 4 - y^2. Então, a área de integração é a parte da parábola entre y = 0 e y = 2.

Passo 3

Agora, vamos mudar a ordem da integração. Queremos integrar primeiro em y e depois em x. Para isso, precisamos determinar novos limites para x e y.
  • x varia de 0 até 4, porque quando y = 0, x pode ir até 4.
  • Para um valor fixo de x, y varia de 0 até raiz4 - x, já que x = 4 - y^2 implica y = raiz4 - x.
Então, os novos limites são:
  • x de 0 a 4
  • y de 0 a raiz4 - x

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^4 integral0^raiz4 - x dy , dx

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