Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty 2^n cdot x^nn^2

Passo 1

Nesse exercício temos a série de potências sumn=1^infty 2^n x^nn^2. O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão (ou raiz) para determinar o raio.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos o quociente dos módulos dos termos consecutivos:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty 2^n+1|x|^n+1/(n+1)^22^n|x|^n/n^2 = limntoinfty 2|x| cdot n^2(n+1)^2 = 2|x|

Passo 3

Para convergência, precisamos que esse limite seja <1, ou seja,
2|x| < 1
Logo o raio de convergência R satisfaz
|x| < 12, ou seja, R = tfrac12. Agora vamos testar os extremos x=pmtfrac12.

Passo 4

Quando x=tfrac12, a série vira
sumn=1^infty 2^n (1/2)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2, que é a série p de termo 1/n^2 com p=2>1, logo converge.

Passo 5

Quando x=-tfrac12, a série é
sumn=1^infty 2^n (-1/2)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2, que também converge absolutamente (mesmo critério p) e, portanto, converge.

Passo 6

Portanto, o intervalo de convergência é
l[-tfrac12,tfrac12r]

Resposta

Raio de convergência: R = 1/2. Intervalo de convergência: [-tfrac12,tfrac12].

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