Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Passo 1
Nesse exercício temos a série de potências . O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão (ou raiz) para determinar o raio.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos o quociente dos módulos dos termos consecutivos:
Passo 3
Para convergência, precisamos que esse limite seja <1, ou seja,
2|x| < 1
Logo o raio de convergência R satisfaz
|x| < 12, ou seja, R = tfrac12. Agora vamos testar os extremos x=pmtfrac12.
Passo 4
Quando x=tfrac12, a série vira
sumn=1^infty 2^n (1/2)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2, que é a série p de termo 1/n^2 com p=2>1, logo converge.
Passo 5
Quando x=-tfrac12, a série é
sumn=1^infty 2^n (-1/2)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2, que também converge absolutamente (mesmo critério p) e, portanto, converge.
Passo 6
Portanto, o intervalo de convergência é
l[-tfrac12,tfrac12r]
Resposta
Raio de convergência: R = 1/2. Intervalo de convergência: [-tfrac12,tfrac12].