Seja D a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como
integral tripla em coordenadas esféricas.
integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o volume da região
que está no primeiro octante (onde
), abaixo do cone dado por
e acima da esfera de raio 3, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são úteis para lidar com superfícies como esferas e cones.
Passo 2
Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano a partir do eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo .
Vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas.
Passo 3
A esfera de raio 3 é simplesmente
. Já o cone
pode ser reescrito em coordenadas esféricas. Sabemos que
e
. Assim, a equação do cone fica:
Isso nos dá o limite para
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada esférica na região
:
-
varia de 0 até a esfera . -
varia de 0 até (definido pelo cone). -
varia de 0 a porque estamos no primeiro octante.
Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é
.
Resposta
Portanto, o volume de
pode ser expresso como a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas: