Seja D a região no 1^0 octante delimitada abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2 e acima pela esfera rho=3. Expresse o volume de D como
integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o volume da região D que está no primeiro octante (onde x, y, z >= 0 ), abaixo do cone dado por z = raizx^2 + y^2 e acima da esfera de raio 3, ou seja, rho = 3 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são úteis para lidar com superfícies como esferas e cones.

Passo 2

Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x ,
  • phi é o ângulo em relação ao eixo z .
Vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas.

Passo 3

A esfera de raio 3 é simplesmente rho = 3 . Já o cone z = raizx^2 + y^2 pode ser reescrito em coordenadas esféricas. Sabemos que z = rho cos phi e raizx^2 + y^2 = rho sin phi . Assim, a equação do cone fica:
rho cos phi = rho sin phi Rightarrow tan phi = 1 Rightarrow phi = pi4
Isso nos dá o limite para phi .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada esférica na região D :
  • rho varia de 0 até a esfera rho = 3 .
  • phi varia de 0 até pi4 (definido pelo cone).
  • theta varia de 0 a pi2 porque estamos no primeiro octante.
Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta .

Resposta

Portanto, o volume de D pode ser expresso como a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas:
V = integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^3 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

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