Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x
Utilize coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx
O objetivo aqui é reescrever essa integral usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis cartesianas (x, y, z) para esféricas (rho, theta, phi) e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, cada ponto no espaço é descrito por três valores:
  • [\rho): a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano a partir do eixo (similar ao ângulo polar).
  • : o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
Além disso, o elemento de volume (dV] em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original para determinar os novos limites em coordenadas esféricas.
  • Para x: Vai de -3 a 3.
  • Para y: Vai de -raiz9 - x^2 a raiz9 - x^2. Isso descreve um círculo de raio 3 no plano xy.
  • Para z: Vai de 0 a raiz9 - x^2 - y^2. Isso descreve a parte superior de uma esfera de raio 3.
Portanto, a região de integração é a metade superior de uma esfera de raio 3, centrada na origem.

Passo 4

Agora, vamos expressar a função integranda e os limites em coordenadas esféricas.
A função integranda original é:
z raizx^2 + y^2 + z^2
Em coordenadas esféricas, substituímos z por rho cosphi e raizx^2 + y^2 + z^2 = rho. Então, a função fica:
rho cosphi cdot rho = rho^2 cosphi
Os limites de integração em esféricas são:
  • rho vai de 0 a 3 (raio da esfera).
  • phi vai de 0 a pi2 (já que z >= 0).
  • theta vai de 0 a 2pi (uma volta completa no plano xy).

Passo 5

Finalmente, montamos a integral em coordenadas esféricas, lembrando de incluir o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 ( rho^2 cosphi ) ( rho^2 sinphi ) , drho , dphi , dtheta
Simplificando a função integranda:
rho^2 cosphi cdot rho^2 sinphi = rho^4 cosphi sinphi
Então, a integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^4 cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta

Resposta

A integral original, expressa em coordenadas esféricas, é:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^4 cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta

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