Se
; encontre o valor exato de
com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função definida por uma soma infinita:
A gente precisa encontrar o valor exato da derivada dessa função quando $ x = \frac{1}{2} $, ou seja, $ f’\left(\frac{1}{2}\right) $, e expressar o resultado com 4 casas decimais. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela é uma série infinita onde cada termo depende de $ n $. Para encontrar a derivada $ f’(x) $, vamos derivar termo a termo. Isso é possível porque a série converge de forma adequada.
A derivada de $ f(x) $ será:
Passo 3
Calculando a derivada de cada termo:
Então, a derivada da função fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x = \frac{1}{2} $ na expressão da derivada:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Vamos simplificar a potência de $ \frac{1}{2} $:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Agora, temos uma série do tipo:
Sabemos que para $ |r| < 1 $:
No nosso caso, $ r = -\frac{1}{12} $. Aplicando a fórmula:
Passo 7
Voltando à expressão da derivada:
Resposta
O valor exato de $ f’\left(\frac{1}{2}\right) $ é $ \frac{-48}{169} $, o que aproximadamente dá $ -0,2840 $.