Se f(x)=sumn=1^infty(-1)^n x^2 n3^n; encontre o valor exato de f^prime(1 / 2) com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função definida por uma soma infinita:
f(x) = sumn=1^infty (-1)^n x^2n3^n
A gente precisa encontrar o valor exato da derivada dessa função quando $ x = \frac{1}{2} $, ou seja, $ f’\left(\frac{1}{2}\right) $, e expressar o resultado com 4 casas decimais. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela é uma série infinita onde cada termo depende de $ n $. Para encontrar a derivada $ f’(x) $, vamos derivar termo a termo. Isso é possível porque a série converge de forma adequada.
A derivada de $ f(x) $ será:
f(x)

Passo 3

Calculando a derivada de cada termo:
ddx(x^2n3^n) = 2n x^2n - 13^n
Então, a derivada da função fica:
f'(x) = sumn=1^infty (-1)^n 2n x^2n - 13^n

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x = \frac{1}{2} $ na expressão da derivada:
x = 12
Simplificando a expressão:
f'(12) = sumn=1^infty (-1)^n 2n (12)^2n - 13^n

Passo 5

Vamos simplificar a potência de $ \frac{1}{2} $:
12
Substituindo de volta na expressão:
(12)^2n - 1 = 12^2n - 1 = 24^n

Passo 6

Agora, temos uma série do tipo:
sumn=1^infty (-1)^n n12^n
Sabemos que para $ |r| < 1 $:
|r| < 1
No nosso caso, $ r = -\frac{1}{12} $. Aplicando a fórmula:
sumn=1^infty n r^n = r(1 - r)^2

Passo 7

Voltando à expressão da derivada:
f'(12) = 4 cdot (-12169) = -48169

Resposta

O valor exato de $ f’\left(\frac{1}{2}\right) $ é $ \frac{-48}{169} $, o que aproximadamente dá $ -0,2840 $.

Exercícios relacionados