x^3+x-8=0 em torno de x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação x^3 + x - 8 = 0 próxima de x = 2. O assunto que vamos usar aqui é o método de aproximação de raízes, especificamente o Método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos saber como aplicar essa técnica para encontrar uma solução mais precisa para a equação dada começando de um chute inicial próximo de x = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Newton-Raphson. É uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • xn é a aproximação atual,
  • f(x) é a função cuja raiz estamos procurando,
  • f'(x) é a derivada da função.

Passo 3

Nossa função é f(x) = x^3 + x - 8. Vamos calcular a derivada dessa função:
f'(x) = 3x^2 + 1

Passo 4

Agora, escolhemos um valor inicial próximo de x = 2. Vamos começar com x0 = 2.
Calculamos f(x0) e f'(x0):
f(2) = 2^3 + 2 - 8 = 8 + 2 - 8 = 2
f'(2) = 3(2)^2 + 1 = 12 + 1 = 13

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1:
x1 = 2 - 213 = 2 - 0,1538 approx 1,8462

Passo 6

Agora, usamos x1 = 1,8462 para encontrar x2:
f(1,8462) = (1,8462)^3 + 1,8462 - 8 approx 6,281 + 1,8462 - 8 approx 0,1272
f'(1,8462) = 3(1,8462)^2 + 1 approx 3(3,407) + 1 approx 10,221 + 1 = 11,221
x2 = 1,8462 - 0,127211,221 approx 1,8462 - 0,0113 approx 1,8349

Passo 7

Fazendo mais uma iteração com x2 = 1,8349:
f(1,8349) approx (1,8349)^3 + 1,8349 - 8 approx 6,162 + 1,8349 - 8 approx 0,0
f'(1,8349) approx 3(1,8349)^2 + 1 approx 3(3,363) + 1 approx 10,089 + 1 = 11,089
x3 = 1,8349 - 0,011,089 = 1,8349

Resposta

A solução aproximada da equação x^3 + x - 8 = 0 em torno de x = 2 é x approx 1,8349.

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