Use o Teorema do Divergente para calcular
, onde
e
é a metade de cima da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a “metade de cima” da esfera
. Vamos usar o Teorema do Divergente fechando
com o disco
,
, de modo a formar a superfície fechada
que envolve o volume
(o hemisfério superior).
Passo 2
Pelo Teorema do Divergente, o fluxo total na superfície fechada é
Logo
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
O volume
é o hemisfério
,
. Em coordenadas esféricas
temos
e
. Assim,
Separamos as integrais:
Portanto
Passo 5
No disco
temos
, então
é horizontal e
aponta para baixo
. Como
não tem componente em
,