Use o Teorema do Divergente para calcular integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=z^2 x i e S é a metade de cima da esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSFcdot dS
onde F(x,y,z)=z^2x,i e S é a “metade de cima” da esfera x^2+y^2+z^2=1. Vamos usar o Teorema do Divergente fechando S com o disco Dcolon z=0, x^2+y^2<=1, de modo a formar a superfície fechada Scup D que envolve o volume V (o hemisfério superior).

Passo 2

Pelo Teorema do Divergente, o fluxo total na superfície fechada é
integral duplaScup DFcdot dS=integral triplaV(nablacdot F),dV
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integral duplaSFcdot dS=integral triplaV(nablacdot F),dV-integral duplaDFcdot dS

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F=partialpartial x(z^2x)+partialpartial y(0)+partialpartial z(0)=z^2

Passo 4

O volume V é o hemisfério x^2+y^2+z^2<=1, z>=0. Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta) temos z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Assim,
integral triplaVz^2,dV =integraltheta=0^2pi!!integralphi=0^pi/2!!integralrho=0^1 (rhocosphi)^2,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Separamos as integrais:
integral0^2pidtheta;=;2pi, integral0^1rho^4drho=15, integral0^pi/2cos^2phi,sinphi,dphi =integralu=1^0u^2(-du) =integral0^1u^2du =13
Portanto
integral triplaVz^2,dV =2picdot15cdot13 =2pi15

Passo 5

No disco D temos z=0, então F é horizontal e dS aponta para baixo (-k). Como F não tem componente em k,
integral duplaDFcdot dS=0

Resposta

integral duplaSFcdot dS =2pi15

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