(2,0 pontos) Um objeto aquecido a
é imerso em água, mantida a
. Depois de
horas, a temperatura do objeto é de
. Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um objeto aquecido a
que é colocado em água a
. Após
horas, a temperatura do objeto cai para
. Precisamos encontrar uma função que descreva a temperatura do objeto em qualquer instante
.
Esse problema envolve o Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de resfriamento de um objeto à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa lei e usar logaritmos para encontrar a constante de resfriamento.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo -
é a temperatura do ambiente -
é a temperatura inicial do objeto -
é a constante de resfriamento -
é o tempo
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos na questão:
-
-
- Após
horas,
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Simplificamos a equação:
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Isolamos
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos de volta na fórmula geral:
Resposta
A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
é: