(2,0 pontos) Um objeto aquecido a 100^circ C é imerso em água, mantida a 20^circ C. Depois de ln (2) horas, a temperatura do objeto é de 40^circ C. Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante t.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um objeto aquecido a 100^circ C que é colocado em água a 20^circ C. Após ln(2) horas, a temperatura do objeto cai para 40^circ C. Precisamos encontrar uma função que descreva a temperatura do objeto em qualquer instante t.
Esse problema envolve o Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de resfriamento de um objeto à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa lei e usar logaritmos para encontrar a constante de resfriamento.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula geral é:
T(t) = Tambiente + (Tinicial - Tambiente) e^-kt
Onde:
  • T(t) é a temperatura do objeto no tempo t
  • Tambiente é a temperatura do ambiente
  • Tinicial é a temperatura inicial do objeto
  • k é a constante de resfriamento
  • t é o tempo

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos na questão:
  • Tinicial = 100^circ C
  • Tambiente = 20^circ C
  • Após t = ln(2) horas, T(t) = 40^circ C
Substituindo esses valores na fórmula:
40 = 20 + (100 - 20) e^-k ln(2)

Passo 4

Simplificamos a equação:
40 - 20 = 80 e^-k ln(2)
20 = 80 e^-k ln(2)
2080 = e^-k ln(2)
14 = e^-k ln(2)

Passo 5

Para resolver para k , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
ln(14) = -k ln(2)
Sabemos que ln(14) = -ln(4) , então:
-ln(4) = -k ln(2)
ln(4) = k ln(2)

Passo 6

Isolamos k :
k = ln(4)ln(2)
Sabemos que ln(4) = 2ln(2) , então:
k = 2ln(2)ln(2) = 2

Passo 7

Agora que temos k = 2 , substituímos de volta na fórmula geral:
T(t) = 20 + 80 e^-2t

Resposta

A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante t é:
T(t) = 20 + 80 e^-2t

Exercícios relacionados