(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
3 x^2 y+1+(x^3+2 y) y^prime=0

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
3 x^2 y + 1 + (x^3 + 2 y) y^prime=0
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial que nos dará a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial exata. A equação dada pode ser escrita como:
(3x^2 y + 1) dx + (x^3 + 2 y) dy = 0
Aqui, identificamos:
  • M(x,y) = 3x^2 y + 1
  • N(x,y) = x^3 + 2 y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x :
partial Mpartial y = 3x^2,
partial Npartial x = 3x^2
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função potencial F(x,y) tal que:
dF = M dx + N dy = 0

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função F(x,y) integrando M em relação a x :
F(x,y) = integral M , dx = integral (3x^2 y + 1) dx = y x^3 + x + h(y),
onde h(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 5

Para determinar h(y) , derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y) :
partial Fpartial y = x^3 + h'(y) = x^3 + 2 y
Isso nos dá:
h'(y) = 2 y
Integrando em relação a y :
h(y) = y^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo h(y) na expressão de F(x,y) , temos:
F(x,y) = y x^3 + x + y^2 = C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y x^3 + y^2 + x = C,
onde C é uma constante real.

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