(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial que nos dará a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial exata. A equação dada pode ser escrita como:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante real.