(a) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? e (c) condicionalmente
(l) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2+3+\cdots+n}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2+\cdots+n}{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}\,x^{n},
(b) para quais x ela converge absolutamente e (c) condicionalmente. Vamos usar as fórmulas conhecidas para somas de séries finitas e o teste de convergência de séries de potências.

Passo 2

Calcular explicitamente as somas do numerador e do denominador:
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Logo o coeficiente geral da série é
a_{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{3}{2n+1}.
A série vira portanto
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2n+1}\,x^{n}.

Passo 3

Para uma série de potências \sum a_{n}x^{n}, o raio de convergência R é dado por
\frac{1}{R} =\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n}.
Aqui a_{n}=3/(2n+1), logo \bigl|a_{n}\bigr|^{1/n}\to1 quando n\to\infty. Assim
R=1.
Concluímos que a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 4

Faltam os casos de contorno x=\pm1.
  • Para x=1 a série torna-se \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2n+1},que diverge por comparação com \sum 1/n.
  • Para x=-1 a série é \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3}{2n+1}.Como \frac{3}{2n+1} é uma sequência positiva, monótona decrescente e que tende a zero, o critério de Leibniz garante convergência, mas não é absoluta.

Resposta

(a) R=1, intervalo de convergência -1<x<1.
(b) Converge absolutamente para |x|<1.
(c) Converge condicionalmente em x=-1 (e diverge em x=1).

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