Esboce as regiões do plano x y definidas pelas equações ou inequações.
(c) y<1-\frac{1}{2} x

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região do plano xy definida pela inequação
y < 1 - \tfrac12 x.
Esse é um problema de geometria analítica: interpretar uma inequação linear em duas variáveis como um semiplano do plano.

Passo 2

Identificamos a reta de fronteira de onde passa a inequação, obtida igualando:
y = 1 - \tfrac12 x.
Para esboçá-la, achamos os interceptos:
  • Em x=0, y = 1.
  • Em y=0, 0 = 1 - \tfrac12 x \Rightarrow x = 2.
    Marque os pontos (0,1) e (2,0).

Passo 3

Como a desigualdade é estrita ( <), a reta não faz parte da região. Portanto, desenhe-a como linha tracejada unindo (0,1) e (2,0).

Passo 4

Para decidir qual lado da reta sombrear, teste um ponto fácil, por exemplo (0,0).
Verifique:
0 \;<\; 1 - \tfrac12\cdot0 \quad\Longrightarrow\quad 0 < 1,
verdadeiro. Logo, (0,0) pertence à região, isto é, a região a sombrear fica abaixo da reta.

Passo 5

No esboço, então:
  • desenhe a reta \,y=1-\tfrac12x tracejada passando por (0,1) e (2,0);
  • sombreie todo o semiplano que contém a origem, ou seja, a parte “abaixo” dessa reta.

Resposta

A região é o semiplano estrito abaixo da reta y=1-\tfrac12x, com a reta desenhada tracejada e a área sob ela sombreada.

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