Encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para a função
f(x)=(\sin x) \ln (1+x)
e os valores de x para os quais a série converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin de
f(x) = (\sin x)\,\ln(1+x)
e o conjunto de x em que essa série converge absolutamente.
Conteúdo: expansão em séries de potências (Maclaurin) e produto de séries (produto de Cauchy).

Passo 2

Escrevemos as séries conhecidas de Maclaurin de cada fator, válidas para \lvert x\rvert<1:
\sin x \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \ln(1+x)\;=\;\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\,\frac{x^{m}}{m}.

Passo 3

O produto de séries
(\sin x)\,\ln(1+x) =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \;\times\; (-1)^{m-1}\frac{x^{m}}{m}
gera, para cada k\ge2, um coeficiente
a_k \;=\;\sum_{2n+1+m=k}(-1)^{\,n+m-1}\,\frac{1}{(2n+1)!\,m}\,,
de modo que
f(x)=\sum_{k=2}^\infty a_k\,x^k.

Passo 4

Calculamos a_2,a_3,a_4 (primeiros três não-nulos):
  • Para k=2: só tem n=0,m=1. a_2 =(-1)^{0+1-1}\frac1{1!\,1}=+1.
  • Para k=3: só tem n=0,m=2. a_3 =(-1)^{0+2-1}\frac1{1!\,2}=-\frac12.
  • Para k=4: aparecem (n=0,m=3) e (n=1,m=1). a_4 =(-1)^{0+3-1}\frac1{1!\,3}+(-1)^{1+1-1}\frac1{3!\,1} =\frac13-\frac16=\frac16.
Logo os três primeiros termos são
f(x)=x^2-\tfrac12x^3+\tfrac16x^4+\cdots.

Passo 5

A série de \sin x converge para todo x, mas a de \ln(1+x) tem raio de convergência 1 e converge absolutamente só em \lvert x\rvert<1. O produto de séries converge então absolutamente para
\boxed{\lvert x\rvert<1}.

Resposta

Os três primeiros termos não-nulos são
x^2-\frac12x^3+\frac16x^4
e a série converge absolutamente para \lvert x\rvert<1.

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