Encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para a função
e os valores de
para os quais a série converge absolutamente.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin de
e o conjunto de
em que essa série converge absolutamente.
Conteúdo: expansão em séries de potências (Maclaurin) e produto de séries (produto de Cauchy).
Conteúdo: expansão em séries de potências (Maclaurin) e produto de séries (produto de Cauchy).
Passo 2
Escrevemos as séries conhecidas de Maclaurin de cada fator, válidas para
:
Passo 3
O produto de séries
gera, para cada
, um coeficiente
de modo que
Passo 4
Calculamos
(primeiros três não-nulos):
- Para
: só tem . - Para
: só tem . - Para
: aparecem e .
Logo os três primeiros termos são
Passo 5
A série de
converge para todo
, mas a de
tem raio de convergência 1 e converge absolutamente só em
. O produto de séries converge então absolutamente para
Resposta
Os três primeiros termos não-nulos são
e a série converge absolutamente para
.