Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}.
O conteúdo envolvido é séries de potências, uso do teste da razão (ou teste da raiz) para achar o raio, e depois testes de convergência em cada extremidade.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, é mais confortável reindexar como uma série em x^k. Faça k=n-1. Então n=k+1 e a série vira
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k+1}.
Aqui os coeficientes são a_k=\tfrac1{k+1}, de modo que temos a forma padrão \sum_{k=0}^\infty a_k\,x^k.

Passo 3

Aplique o teste da razão:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}\,x^{\,k+1}}{a_k\,x^k}\right| =\lim_{k\to\infty}\left|\frac{\tfrac1{k+2}}{\tfrac1{k+1}}\;x\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k+2}\,\bigl|x\bigr| =\bigl|x\bigr|.
Para convergir, precisamos de \bigl|x\bigr|<1. Logo o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Testando x=1: a série fica
\sum_{n=1}^\infty\frac{1^{\,n-1}}{n} =\sum_{n=1}^\infty\frac1n,
que é a série harmônica e diverge.

Passo 5

Testando x=-1: a série fica
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{\,n-1}}{n},
que é a série harmônica alternada. Pelo teste de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1), ou seja, converge para -1\le x<1 e diverge em x=1.

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