Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}.
O conteúdo envolvido é séries de potências, uso do teste da razão (ou teste da raiz) para achar o raio, e depois testes de convergência em cada extremidade.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, é mais confortável reindexar como uma série em x^k. Faça k=n-1. Então n=k+1 e a série vira
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k+1}.
Aqui os coeficientes são a_k=\tfrac1{k+1}, de modo que temos a forma padrão \sum_{k=0}^\infty a_k\,x^k.