1. Explique o que é uma série de potência e dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos o que é uma série de potência e dar um exemplo. Para isso, precisamos recorrer ao conceito de séries numéricas e à ideia de expandir uma função em torno de um ponto por meio de potências de (x - c).

Passo 2

Uma série de potência é uma soma infinita da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x - c)^{n}
em que:
  • \{a_{n}\} é uma sequência de coeficientes (podem ser números reais ou complexos);
  • c é o centro da série;
  • x é a variável.
Essa série só faz sentido para valores de x que satisfaçam \lvert x - c\rvert < R, onde R é o raio de convergência, determinado por algum critério (por exemplo, o critério da razão de Cauchy):
R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\quad\text{(se esse limite existir).}

Passo 3

Um exemplo clássico é a série geométrica centrada em 0, obtida ao escolher a_{n}=1 e c=0:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots
Ela converge exatamente quando \lvert x\rvert<1, e nesse intervalo sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}.

Resposta

Uma série de potência é uma soma infinita da forma
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x - c)^{n}
com raio de convergência R.
Exemplo:
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots, que converge para \tfrac{1}{1-x} quando \lvert x\rvert<1.

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