1. Explique o que é uma série de potência e dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos o que é uma série de potência e dar um exemplo. Para isso, precisamos recorrer ao conceito de séries numéricas e à ideia de expandir uma função em torno de um ponto por meio de potências de (x - c).
Passo 2
Uma série de potência é uma soma infinita da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x - c)^{n}
em que:
\{a_{n}\} é uma sequência de coeficientes (podem ser números reais ou complexos);
c é o centro da série;
x é a variável.
Essa série só faz sentido para valores de x que satisfaçam \lvert x - c\rvert < R, onde R é o raio de convergência, determinado por algum critério (por exemplo, o critério da razão de Cauchy):
R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\quad\text{(se esse limite existir).}
Passo 3
Um exemplo clássico é a série geométrica centrada em 0, obtida ao escolher a_{n}=1 e c=0:
Ela converge exatamente quando \lvert x\rvert<1, e nesse intervalo sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}.
Resposta
Uma série de potência é uma soma infinita da forma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x - c)^{n}
com raio de convergência R.
Exemplo: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots, que converge para \tfrac{1}{1-x} quando \lvert x\rvert<1.