Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
c) \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)!x^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)!\,x^{n-1}.
Este é um problema de séries de potências. Para resolver, vamos reescrever a série num índice mais usual e aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Reindexamos a soma definindo k = n-1. Assim, quando n vai de 1 a \infty, k vai de 0 a \infty. A série fica
\sum_{k=0}^{\infty}k!\,x^{k}.
Aqui o coeficiente geral é a_{k}=k!.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão. Calculamos
\left|\frac{a_{k+1}\,x^{k+1}}{a_{k}\,x^{k}}\right| =\bigl|(k+1)!\,x^{k+1}\bigr|\bigm/\bigl|k!\,x^{k}\bigr| =(k+1)\,\lvert x\rvert.
Para convergência, precisamos que o limite desse quociente seja menor que 1:
\lim_{k\to\infty}(k+1)\,\lvert x\rvert < 1.
Mas \lim_{k\to\infty}(k+1)\,\lvert x\rvert é 0 só se \lvert x\rvert=0; para qualquer \lvert x\rvert>0 esse limite diverge para \infty.

Passo 4

Conclusão a partir do teste da razão:
  • A série converge apenas quando \lvert x\rvert=0.
  • Portanto o raio de convergência é
R = 0.
  • O único ponto de convergência é x=0, logo o “intervalo” de convergência é apenas o conjunto \{0\}.

Resposta

Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: somente x=0.

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