Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2^{n-1} x^{n-1}}{(n) 3^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^{n-1}x^{n-1}}{n\,3^{n-1}}.
Isso é uma série de potências em x. Para achar o raio usamos o teste da razão e, depois, testamos separadamente os pontos extremos do intervalo |x|=R.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = (-1)^{n-1}\,\frac{2^{n-1}x^{n-1}}{n\,3^{n-1}}.
Vamos aplicar o teste da razão sobre \lvert a_{n+1}/a_n\rvert.

Passo 3

Calculemos
\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert = \left\lvert \frac{(-1)^{n}\,\frac{2^{n}x^{n}}{(n+1)\,3^{n}}} {(-1)^{n-1}\,\frac{2^{n-1}x^{n-1}}{n\,3^{n-1}}} \right\rvert = \left\lvert\frac{2x}{3}\cdot\frac{n}{n+1}\right\rvert \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \left\lvert\frac{2x}{3}\right\rvert.
Para convergência pelo teste da razão precisamos de
\left\lvert\frac{2x}{3}\right\rvert<1 \;\Longrightarrow\; |x|<\frac{3}{2}.
Logo, o raio de convergência é
R = \frac{3}{2}.

Passo 4

Agora testamos os extremos x = \pm\frac{3}{2}:
Em x = \frac{3}{2} temos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^{n-1}(3/2)^{n-1}}{n\,3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n},
que é a série harmônica alternada e converge (por teste de Leibniz).
Em x = -\frac{3}{2} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^{n-1}(-3/2)^{n-1}}{n\,3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge.

Resposta

Raio de convergência: R = \tfrac{3}{2}.
Intervalo de convergência:
\bigl(-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{3}{2}\bigr].

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