Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)(x-2)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 2:
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)(x-2)^{n-1}.
Aqui o termo geral é a_n=(n-1)(x-2)^{n-1} e vamos aplicar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão ao termo a_n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{n\,(x-2)^{n}}{(n-1)\,(x-2)^{\,n-1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}\,\bigl|x-2\bigr| =\bigl|x-2\bigr|.
Para convergência precisamos que esse limite seja menor que 1, ou seja,
\bigl|x-2\bigr|<1.

Passo 3

Da condição \lvert x-2\rvert<1 obtemos o intervalo aberto de convergência
1<x<3.

Passo 4

Faltam os testes nos extremos:
  • Em x=3 o termo geral fica (n-1)\cdot1^{\,n-1}=n-1, cuja série \sum(n-1) diverge por termo não tender a zero.
  • Em x=1 o termo geral fica (n-1)(-1)^{n-1}, também não tende a zero em módulo, então a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (1,3)

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