Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)^{3} x^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)^{3}x^{n-1}.
Isso envolve saber quando essa soma infinita de termos do tipo (n-1)^3x^{n-1} converge, usando testes como o teste da raiz ou o teste da razão.

Passo 2

Para simplificar, façamos a troca de índice m = n-1. Assim, quando n vai de 1 até \infty, m vai de 0 até \infty, e a série fica
\sum_{m=0}^{\infty}m^{3}x^{m}.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz m-ésima, que diz que a série \sum a_m converge se
\lim_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|}<1
e diverge se esse limite for maior que 1. Aqui a_m = m^3 x^m, então
\sqrt[m]{|a_m|} = \sqrt[m]{m^3\,|x|^m} =|x|\;\sqrt[m]{m^3}.
Como \lim_{m\to\infty}\sqrt[m]{m^3}=1, obtemos
\lim_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|}=|x|.

Passo 4

Pelo teste da raiz, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 5

Falta checar os extremos \,x=1 e \,x=-1:
Para x=1 a série vira \sum_{m=0}^\infty m^3, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
Para x=-1 a série é \sum_{m=0}^\infty(-1)^m m^3, mas como |m^3|\not\to0, ela também diverge (mesmo que alternada, não satisfaz a condição necessária de termo geral tendendo a zero).

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).

Exercícios relacionados