Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Isso envolve saber quando essa soma infinita de termos do tipo
converge, usando testes como o teste da raiz ou o teste da razão.
Passo 2
Para simplificar, façamos a troca de índice
. Assim, quando
vai de
até
,
vai de
até
, e a série fica
Passo 3
Aplicamos o teste da raiz
-ésima, que diz que a série
converge se
e diverge se esse limite for maior que 1. Aqui
, então
Como
, obtemos
Passo 4
Pelo teste da raiz, a série converge se
e diverge se
. Logo o raio de convergência é
Passo 5
Falta checar os extremos
e
:
Para a série vira
, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
Para a série é
, mas como
, ela também diverge (mesmo que alternada, não satisfaz a condição necessária de termo geral tendendo a zero).
Para
Para
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.