Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}.
O conteúdo de matéria é séries de potências e para isso vamos usar a definição de série de potências em forma padrão e o teste da razão para achar R. Depois testamos os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Reescrevemos a série em forma padrão \sum_{k=0}^\infty b_k x^k. Fazendo k=n-1, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n} \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}\,x^k,
logo o coeficiente geral é
b_k = \frac{1}{k+1}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão aos coeficientes b_k:
L=\lim_{k\to\infty}\Bigl|\frac{b_{k+1}}{b_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty}\frac{\tfrac{1}{k+2}}{\tfrac{1}{k+1}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k+2}=1.
O raio de convergência é
R = \frac{1}{L} = 1.
Logo a série converge absolutamente para |x|<1.

Passo 4

Testamos x=1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{\,n-1}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica divergente. Portanto não converge em x=1.

Passo 5

Testamos x=-1. A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n},
que é a série alternada harmônica. Pelo critério de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Resposta

O raio de convergência é R=1.
O intervalo de convergência é
-1 \le x < 1.

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