Explique o que é uma série de potência e dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede que expliquemos o que é uma série de potência e que demos um exemplo. Para isso, precisamos definir a forma geral de uma série de potência, comentar brevemente sua convergência e, em seguida, apresentar um exemplo concreto.
Passo 2
Uma série de potência é uma soma infinita de termos em que cada termo é um coeficiente multiplicado por uma potência de
, onde
é o centro da série. Em forma geral, escrevemos
em que
é uma sequência de números (reais ou complexos).
Passo 3
Nem sempre essa soma infinita converge para todo
. Há um raio de convergência
tal que a série converge absolutamente se
e diverge se
. O valor de
pode ser encontrado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Passo 4
Um exemplo clássico é a série geométrica centrada em zero. Tomamos
e
, obtendo
Essa série converge se, e somente se,
e, nesse caso, soma-se a
Resposta
Uma série de potência é uma série infinita da forma
com raio de convergência
.
Exemplo:
Exemplo:
que converge para
e soma-se a
.