Explique o que é uma série de potência e dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede que expliquemos o que é uma série de potência e que demos um exemplo. Para isso, precisamos definir a forma geral de uma série de potência, comentar brevemente sua convergência e, em seguida, apresentar um exemplo concreto.

Passo 2

Uma série de potência é uma soma infinita de termos em que cada termo é um coeficiente multiplicado por uma potência de (x-c), onde c é o centro da série. Em forma geral, escrevemos
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,(x-c)^n,
em que \{a_n\} é uma sequência de números (reais ou complexos).

Passo 3

Nem sempre essa soma infinita converge para todo x. Há um raio de convergência R\ge0 tal que a série converge absolutamente se \lvert x-c\rvert<R e diverge se \lvert x-c\rvert>R. O valor de R pode ser encontrado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.

Passo 4

Um exemplo clássico é a série geométrica centrada em zero. Tomamos a_n=1 e c=0, obtendo
\sum_{n=0}^{\infty} x^n.
Essa série converge se, e somente se, \lvert x\rvert<1 e, nesse caso, soma-se a
\frac{1}{1-x}.

Resposta

Uma série de potência é uma série infinita da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,(x-c)^n,
com raio de convergência R.
Exemplo:
\sum_{n=0}^{\infty} x^n,
que converge para \lvert x\rvert<1 e soma-se a \tfrac{1}{1-x}.

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