Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2^{n-1} x^{n-1}}{(n) 3^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{2^{n-1}\,x^{n-1}}{n\,3^{n-1}}.
O conteúdo aqui é análise de séries de potências: vamos reescrever em forma padrão, aplicar o teste da razão para encontrar R e depois examinar os extremos do intervalo.

Passo 2

Reindexamos para ter potência x^m com m=n-1. Então m vai de 0 a \infty e a série vira
\sum_{m=0}^{\infty} a_m\,x^m \quad\text{com}\quad a_m = (-1)^m\,\frac{2^m}{(m+1)\,3^m}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em |a_m\,x^m|. Primeiro calculamos
\biggl|\frac{a_{m+1}}{a_m}\biggr| = \frac{2^{m+1}/\bigl((m+2)\,3^{m+1}\bigr)}{2^m/\bigl((m+1)\,3^m\bigr)} = \frac{2}{3}\,\frac{m+1}{m+2}.
Tomando m\to\infty obtemos
\lim_{m\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{m+1}}{a_m}\bigr| = \frac{2}{3}.
Pelo teste da razão, converge se
\frac{2}{3}\,|x| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x| < \frac{3}{2}.
Logo o raio de convergência é
R = \frac{3}{2}.

Passo 4

Agora examinamos os pontos extremos x = \pm \tfrac{3}{2}.
  1. Para x = \tfrac{3}{2}:
    Substituindo em a_m x^m
    (-1)^m\,\frac{2^m}{(m+1)\,3^m}\,\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^m = (-1)^m\,\frac{(2\cdot\tfrac{3}{2})^m}{(m+1)\,3^m} = (-1)^m\,\frac{1^m}{m+1} = \frac{(-1)^m}{m+1}.
    Essa é uma série alternada com termos decrescentes em módulo e que tendem a zero, então converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
  2. Para x = -\tfrac{3}{2}:
    Substituindo dá
    (-1)^m\,\frac{2^m}{(m+1)\,3^m}\,\Bigl(-\tfrac{3}{2}\Bigr)^m = (-1)^m\,(-1)^m\,\frac{1^m}{m+1} = \frac{1}{m+1}.
    Isso é a série harmônica (deslocada) e diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac{3}{2} e o intervalo de convergência é
\bigl(-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{3}{2}\bigr] \,.

Exercícios relacionados