Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)!x^{n-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)!\,x^{n-1}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o critério da razão, que é a forma padrão de tratar séries cujos coeficientes crescem rápido.

Passo 2

Para aplicar o critério da razão de modo mais direto, reindexamos a soma definindo m=n-1. Isso transforma a série em
\sum_{m=0}^{\infty}m!\,x^{m}
então o termo geral é a_{m}x^{m} com a_{m}=m!.

Passo 3

O critério da razão diz que a série converge se
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{a_{m+1}x^{m+1}}{a_{m}x^{m}}\right|<1.
Aqui temos
\left|\frac{a_{m+1}x^{m+1}}{a_{m}x^{m}}\right| =\left|\frac{(m+1)!\,x^{m+1}}{m!\,x^{m}}\right| =(m+1)\,|x|.

Passo 4

Agora calculamos o limite quando m\to\infty\): \[\lim_{m\to\infty}(m+1)\,|x| =\begin{cases} 0,&\text{se }x=0,\\\ \infty,&\text{se }x\neq0. \end{cases}
O critério da razão exige que esse limite seja menor que 1\], e isso só ocorre para \(x=0.

Passo 5

Portanto o raio de convergência é
R=0,
e o intervalo de convergência é apenas o ponto
\{0\}.

Resposta

O raio de convergência é R=0 e a série converge somente para x=0.

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