Encontre o raio e intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potências, então vamos reescrever a soma como
identificando
e
. A partir daí, usamos o critério da raiz para achar o raio de convergência em
e traduzimos para
.
Passo 2
Aplicamos o critério da raiz em
. O raio de convergência
em termos de
é dado por
Como
temos
Logo,
Passo 3
A condição de convergência em
é
, ou seja
Portanto, a série converge para todo
.
Passo 4
É preciso verificar o comportamento em
, que corresponde a
. Nesse caso cada termo é
e a série
converge por comparação com
. Para
temos
e os termos não tendem a zero, logo diverge.
Resposta
Raio de convergência em
:
.
Intervalo de convergência em
:
converge para e converge também em
; diverge para
.
Em notação de intervalo: .
converge para
Em notação de intervalo: