Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum \frac{\mathrm{e}^{n x}}{n^{2}-n+1}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n x}}{n^{2}-n+1}.
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potências, então vamos reescrever a soma como
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\,w^{n},
identificando w=e^{x} e a_{n}=\frac{1}{n^{2}-n+1}. A partir daí, usamos o critério da raiz para achar o raio de convergência em w e traduzimos para x.

Passo 2

Aplicamos o critério da raiz em w. O raio de convergência R em termos de w é dado por
R \;=\;\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n}}.
Como
a_{n}=\frac{1}{n^{2}-n+1},
temos
\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} =\bigl(n^{2}-n+1\bigr)^{-1/n} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1^{-1}=1.
Logo,
R = \frac{1}{1}=1.

Passo 3

A condição de convergência em w é \lvert w\rvert< R, ou seja
\lvert e^{x}\rvert<1 \;\Longrightarrow\; e^{x}<1 \;\Longrightarrow\; x<0.
Portanto, a série converge para todo x<0.

Passo 4

É preciso verificar o comportamento em x=0, que corresponde a w=1. Nesse caso cada termo é
\frac{e^{n\cdot0}}{n^{2}-n+1} =\frac{1}{n^{2}-n+1},
e a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-n+1}
converge por comparação com \sum n^{-2}. Para x>0 temos e^{x}>1 e os termos não tendem a zero, logo diverge.

Resposta

Raio de convergência em w=e^{x}:
R=1.
Intervalo de convergência em x:
converge para x<0 e converge também em x=0; diverge para x>0.
Em notação de intervalo: (-\infty,0].

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