Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum n!(x-3)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n!\,(x-3)^n.
O conteúdo aplicado será o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Definindo a_n = n!, temos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,(x-3)^{n+1}}{a_n\,(x-3)^n}\right| = \lim_{n\to\infty}(n+1)\bigl|x-3\bigr|.
Se x\neq3, então (n+1)\lvert x-3\rvert\to\infty, o que implica divergência. Para x=3, todos os termos com n\ge1 são zero e a série converge trivialmente.

Resposta

Raio de convergência R = 0.
Intervalo de convergência: converge apenas no ponto x = 3.

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