Encontre o raio e intervalo de convergência. \sum\left(\frac{x}{3}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é a convergência de série geométrica: para \sum q^n a condição é \lvert q\rvert<1.
Passo 2
Identificamos o termo geral como
a_n=\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^{n},
de modo que o “quociente” da série geométrica é
q=\frac{x}{3}.
Passo 3
Usamos a condição de convergência \lvert q\rvert<1, ou seja,
\Bigl\lvert \frac{x}{3}\Bigr\rvert<1.
Multiplicando ambos os lados por 3 obtemos
\lvert x\rvert<3.
Passo 4
Da desigualdade \lvert x\rvert<3 concluímos que o raio de convergência é
R=3.
Só resta verificar as pontas x=3 e x=-3:
em x=3 a série vira \sum1^n, que diverge;
em x=-3 fica \sum(-1)^n, cujos termos não tendem a zero, logo também diverge.
Passo 5
Portanto, o intervalo de convergência é o aberto
(-3,3).
Resposta
Raio de convergência: R=3
Intervalo de convergência: (-3,3)