Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum \frac{x^{n}}{(1+n)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(1+n)^{n}}.
O conteúdo principal aqui é o teste da razão (ou o teste da raiz) para séries de potências.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_{n} = \frac{x^{n}}{(1+n)^{n}}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\left|\frac{x^{\,n+1}/(n+2)^{\,n+1}}{x^{n}/(n+1)^{n}}\right| =|x|\;\frac{(n+1)^{n}}{(n+2)^{\,n+1}}.

Passo 3

Reescrevemos o quociente para estudar o limite quando n\to\infty:
\frac{(n+1)^{n}}{(n+2)^{\,n+1}} =\Bigl(\frac{n+1}{n+2}\Bigr)^{n}\;\frac{1}{n+2} =\Bigl(1-\frac{1}{n+2}\Bigr)^{n}\;\frac{1}{n+2}.
Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n+2}\Bigr)^{n}=e^{-1} \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+2}=0,
segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{(n+2)^{\,n+1}}=0.

Passo 4

Logo, pelo teste da razão,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =|x|\cdot 0 = 0<1
para todo valor finito de x. Isso significa que a série converge absolutamente para qualquer x, ou seja, o raio de convergência é infinito:
R = \infty.

Passo 5

Como não há pontos de fronteira (já que R=\infty), o intervalo de convergência é toda a reta real:
(-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: R=\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).

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