Encontre o raio e intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
O conteúdo principal aqui é o teste da razão (ou o teste da raiz) para séries de potências.
Passo 2
Denotemos o termo geral por
Aplicamos o teste da razão, calculando
Passo 3
Reescrevemos o quociente para estudar o limite quando
:
Como
segue que
Passo 4
Logo, pelo teste da razão,
para todo valor finito de
. Isso significa que a série converge absolutamente para qualquer
, ou seja, o raio de convergência é infinito:
Passo 5
Como não há pontos de fronteira (já que
), o intervalo de convergência é toda a reta real:
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: