Encontre o raio e intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os endpoints
e
.
Passo 2
Aplicando o teste da razão à sequência geral
, calculamos
Para convergir, precisamos de
. Logo, o raio de convergência é
Passo 3
Testo o endpoint
. Substituindo em
vem a série
que é a série harmônica alternada. Como
é decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).
Passo 4
Testo o endpoint
. Substituindo em
vem
a famosa série harmônica, que diverge. Portanto não há convergência em
.
Passo 5
Juntando tudo: a série converge para
e também em
, mas não em
. Assim o intervalo de convergência é
Resposta
Raio de convergência
.
Intervalo de convergência .
Intervalo de convergência