Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n}
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os endpoints x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à sequência geral a_n(x)=(-1)^n x^n/n, calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}/(n+1)}{|x|^n/n} =|x|\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =|x|.
Para convergir, precisamos de |x|<1. Logo, o raio de convergência é
R=1.

Passo 3

Testo o endpoint x=1. Substituindo em a_n vem a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n},
que é a série harmônica alternada. Como \frac1n é decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Passo 4

Testo o endpoint x=-1. Substituindo em a_n vem
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(-1)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
a famosa série harmônica, que diverge. Portanto não há convergência em x=-1.

Passo 5

Juntando tudo: a série converge para |x|<1 e também em x=1, mas não em x=-1. Assim o intervalo de convergência é
-1 < x \le 1.

Resposta

Raio de convergência R=1.
Intervalo de convergência -1<x\le1.

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