Encontre o raio e intervalo de convergência: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!(x-4)^{k}}{3^{k}}
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 4:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{3^{k}}(x-4)^{k}.
O método mais direto para séries com fatorção de k! é o teste da razão.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à sequência de termos
a_k = \frac{k!}{3^{k}}(x-4)^{k}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty} \left|\frac{(k+1)!}{3^{\,k+1}}(x-4)^{k+1}\;\bigg/\;\frac{k!}{3^{\,k}}(x-4)^{k}\right|.