Encontre o raio e intervalo de convergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!(x-4)^{k}}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 4:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{3^{k}}(x-4)^{k}.
O método mais direto para séries com fatorção de k! é o teste da razão.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à sequência de termos
a_k = \frac{k!}{3^{k}}(x-4)^{k}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty} \left|\frac{(k+1)!}{3^{\,k+1}}(x-4)^{k+1}\;\bigg/\;\frac{k!}{3^{\,k}}(x-4)^{k}\right|.

Passo 3

Dentro do valor absoluto temos
\frac{(k+1)!}{3^{\,k+1}}\cdot\frac{3^{\,k}}{k!}\cdot|x-4| =\frac{k+1}{3}\,|x-4|.
Logo
L = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{3}\,|x-4| =\begin{cases} 0,&\text{se }|x-4|=0,\\\\ +\infty,&\text{se }|x-4|>0. \end{cases}
Para que a série converja, precisamos de L<1. Mas, sempre que |x-4|>0, temos L=+\infty, que não satisfaz L<1.

Passo 4

A única forma de ter L<1 é |x-4|=0, ou seja, x=4. Isso significa que o raio de convergência é
R=0
e a série só converge no ponto x=4.

Resposta

O raio de convergência é R=0 e o intervalo de convergência é apenas o ponto x=4.

Exercícios relacionados